Alternatif monophasé
Il existe différents types de grandeurs variables, mais le signal alternatif possède certaines caractéristiques, il est :
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Bidirectionnelle (qui oscille entre valeurs positives et négatives)
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Périodique (dont les variations se reproduisent identiques à elles même à intervalle de temps régulier)
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Sinusoïdale (qui évolue en fonction de temps comme une sinusoïde)
" La période " d’un courant alternatif sinusoïdale, est la durée constante qui sépare deux instants consécutifs, dans le même sens, entre deux points identiques.
On désigne la période par la lettre majuscule " T " et on la mesure en " secondes ".
En Europe, la période du courant sinusoïdal du réseau est : T = 1/50 sec
La période
La fréquence
" la fréquence " est un phénomène périodique qui représente le nombre de cycles complets d'une oscillation ou d'une onde qui se reproduisent par unité de temps (en seconde).
Dans le Système international d'unités (SI), la fréquence s'exprime en hertz (Hz), il s’agit d’un hommage au physicien allemand Heinrich Hertz.
Lorsque le phénomène peut être décrit mathématiquement par une fonction périodique du temps, c'est-à-dire une fonction F(t) telle qu'il existe des constantes Ti pour lesquelles, quel que soit t, F(t+Ti) = F(t), alors la plus petite des valeurs positives de ces constantes Ti est la période " T " de la fonction.
Dans ce cas, et la fréquence " f "est l'inverse de la période " T ".
Pour un tour, l’angle « φ » décrit, est 2 π[rad] et donc : C = 2 π r
Si l'on considère que la circonférence « c » d’un cercle de rayon « r » est égale à 1, on en déduit que : C = 2 π
Comme en 1 tour, le temps parcouru correspond à 1 période ( T ), on peut écrire que la vitesse angulaire ω :
ω = (1 circonférence)/(1 période) = (2π )/T
Comme : T = 1/f on déduit :
Vitesse angulaire ou pulsation
Vous avez remarqué que notre signal sinusoïdale représente la fonction sinus par un vecteur tournant dans un cercle.
Pour chaque valeur d'angle, notre vecteur prend une valeur différente et nous pouvons donc représenter notre signal comme un vecteur tournant à la vitesse angulaire .
La vitesse angulaire, appelée également pulsation « ω », définit le nombre de " radians " effectués par " seconde " par le rayon vecteur tournant à l'intérieur du cercle.
Avant de développer la vitesse angulaire, on se doit de définir la notion de radian.
Notions de radian
« Un radian » équivaut à l’angle qui, ayant son sommet au centre d’un cercle, intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc d’une longueur égale à celle du rayon du cercle.
L’angle dessiné représente 1 radian et son rayon vaut 1.
Circonférence : C = 2 .π.r = π.d
Donc : 360° = 2.π [rad] et 180° = π [rad]
Vitesse :
v= espace/temps= e/t
Corrélation entre la vitesse " v "et la vitesse angulaire " ω ".
Vitesse angulaire :
ω= (circonférence du cercle)/Période= C/T
Grandeurs instantanées
" Une valeur instantanée " d'une grandeur variable, est la valeur que cette grandeur peut prendre à tout instant.
Dans notre cas, les grandeurs électriques usuelles sont : l'intensité du courant, la tension et la puissance.
Pour représenter ces grandeurs "instantanées", ont utilisera toujours des lettres minuscules i(t), u(t), p(t).
Déterminer la période des oscillogrammes suivants.
T1 = 5 x 0,5 ms = 2,5 ms
T2 = 8 x 0,5 ms = 4 ms
Puissance instantanée
La puissance électrique instantanée s'exprime par le produit de la tension instantanée « u » et de l'intensité instantanée « i ».
Quel que soit le régime électrique (continu, transitoire, alternatif sinusoïdal ... ), la relation est toujours vraie.
Valeurs efficaces
" La valeur efficace" d'une "grandeur variable " (tension, courant) au cours du temps de "période (T)", est égale à la valeur d'une "grandeur continue" (tension, courant) dissipant la même énergie à travers une " résistance (R) " sur une période T » .
Exemple :
La valeur efficace d'un "courant variable" (I), produit le même travail qu'un "courant continu", dans la "même charge" et durant "le même intervalle de temps".
La valeur efficace de ce courant "variable" sera alors la même que celle du courant continu.
NB :
La valeur efficace d'un courant (I), s'exprime alors comme la racine carrée de la moyenne du carré de l'intensité calculée sur une période T.
La dénomination anglaise RMS signifie " root mean square ", soit « racine de la moyenne du carré » (ou « moyenne quadratique »).
Expérience électrique et déduction logique
Nous allons partir sur l'expérimentation d'une résistance " R ", alimentée en premier par une source de tension continue (DC) et ensuite alimentée par son équivalent en tension alternative (AC).
Il serait opportun d'établir une équivalence entre tension alternative et tension continue, du point de vue de leurs effets thermiques.
On peut se demander si une tension alternative sinusoïdale de 200V crête produirait le même effet joule qu'une tension continue de 200V aux bornes de la même résistance.
Calculs de la puissance dissipée en continu (DC)
Constat:
A tous les instants, avec une source de tension continue (DC), la puissance moyenne dissipée est constante et dans notre cas vaut 2000 W.
Calculs de la puissance dissipée en Alternatif
Constat:
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La puissance dissipée dans une résistance est "variable".
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La "puissance moyenne" est la moitié de la puissance maximale.
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Lorsque la tension et le courant deviennent négatifs, la puissance reste "positive" car le produit de deux nombre "négatifs" est positif.
Conclusion
Avec la source de tension alternative, la puissance dissipée moyenne en (AC) par une résistance est la moitié de la puissance dissipée en (DC) avec une source de tension continue.
On doit conclure que c'est deux tensions, alternative (crête) et continue, ne sont pas équivalentes.
Démonstration de la valeur efficace
Quelle tension continue (DC) faudrait-t-il appliquée à la résistance afin de provoquer le même effet thermique que la tension alternative? .
Nous allons partir sur le principe de calcul des énergies afin de déterminer le rapport qui existe entre valeur maximale et valeur efficace.
On compare l'énergie dissipée en continu par rapport à l'énergie en alternatif en les superposant.
Aire de l'énergie dissipée en continu
Aire de l'énergie dissipée en alternatif
Comparons les deux aires entre elles.
Comme dans notre cas la résistance et la base de temps (période) sont identiques, on peux les enlevés de l'équation
On enlève le carré du courant efficace par la racine carré et on obtient:
Annexe: Développements mathématique
Expression mathématique d'un signal efficace sinusoïdale
Energie efficace continue:
E = R . I² . T
Energie instantanée alternative:
dE = R . i² (t) . dt
Energie totale dissipée sur une période " T "
Dans notre cas les deux énergies dissipées étant identique, on peut écrire :
La résistance étant la même, on peut simplifier par « R ».
On peut transférer le temps « T » vers l’intégrale :
On enlève le carré du signal efficace, pour trouver l’expression d’un signal efficace quelconque.
Développement mathématique d'un courant efficace
On va considérer comme départ les équations suivantes:
On peut sortir le courant max au carré de l’intégrale, car c’est une constante.
On remplace le sinus au carré, par son expression linéarisée.
On peut séparer l’intégrale en une somme de 2 intégrales
L’intégrale d’un cosinus sur un multiple de sa période est « nulle ».
On réalise l'intégrale de 1/2 sur la période " T "
On simplifie par " T "
On élimine le carré
Dans notre cas, on considère la valeur instantanée ( i , u) comme le côté opposé et la valeur max ( Î , Û ), comme l’hypoténuse.
Théorème de Pythagore
Le vecteur «ω » tourne à la vitesse constante et le temps nécessaire pour parcourir 2 π [rad] est une période T.
Il est donc possible de poser un rapport permettant de calculer l'angle parcouru «α » durant une différence de temps « ∆t » séparant l'origine « 0 » du temps « t1 ».
On en déduit donc les formules des valeurs instantanées de l'intensité du courant électrique et de la tension.
L’argument du sinus, " ωt ", est appelé la phase (ou l’angle de phase) de l’oscillation.